同じ確率なのに？「表表」と「表裏」のちょっと不思議なおはなし

まずは、ちょっと一問。

2枚のコインを順番に投げる時、結果が［表→表］となる確率と［表→裏］となる確率はいくつでしょうか？

もちろん、表と裏はどちらも同じ確率で、前の結果にも左右されないものとします。

……どちらも$\frac{1}{4}$ですね！

「なんだ、そんな話か」と思った方、ちょっと待ってください。ここから、遊び方を少し変えてみます。

今度はコインを投げ続けて、［表→表］が続けて出たら終了！ 何回投げたかを数えておきます。

もう一つは、［表→裏］が続けて出たら終了！ こちらも同じように数えます。

たとえば［裏→表→表→裏］と出たなら、［表→表］は3回目、［表→裏］は4回目で登場していますね。2回ずつ区切らず、隣り合った結果を見ていきます。

この二つをそれぞれ何度も何度も試したら、平均して早く終わるのはどちらでしょう？ 同じコインの列で先に出たほうが勝ち、という勝負ではなく、それぞれの平均回数を比べます。

さっきは、どちらも$\frac{1}{4}$でした。ということは……？

同じ……じゃない？

［表→表］は平均6回。［表→裏］は平均4回。

……あれ、違う。(・・?)

しかも、ほんの少しでもなく、平均で1.5倍。どちらも同じ$\frac{1}{4}$だったのに、どこでこんな差がついたんでしょう。

ここで、［表→裏］を待っている気持ちになってみてください。

まず、表が出ました。「よし、次に裏が出れば終わり！」

もう一度投げます。出たのは……表。

あー、残念。もう一回。……また表。(・_・;)

でも、これ、さっきからずっと「次に裏が出れば終わり」のままじゃない？

そう。表が何回続いても、最後の表を使えばいい。一度表が出たら、ずっとリーチのまま。

では、［表→表］を待っていたら？ 表が出てリーチ、次に裏が出ると……最初の表を出すところからやり直し。さっきの表は、もう使えません。

外してもリーチのままと、外すと振り出し。なるほど、後者はちょっとしんどそう。

この「やり直し」、式にしてみると。

とはいえ、「しんどそう」だけで6回と4回が出てきたわけではないので、ここは少しだけ計算を。

まず、表が初めて出るまでの平均は2回。1回で出ることもあれば、裏が続いてなかなか出ないこともある。それを全部ならすと2回。裏を待つ場合も同じ。

［表→裏］では、最初に表が出たあと、裏が出るまで投げ続けます。たとえば［表→表→表→裏］なら、最後の2回が［表→裏］。途中で表が何回続いても、裏が出たところで必ず揃います。

だから、数えるのは「最初の表が出るまで」と「そのあと初めて裏が出るまで」の回数。それぞれ平均2回なので、合わせると……

おお、こちらはあっさり。

では［表→表］は？ 答えをまだ知らないことにして、最初から終了まで平均$x$回かかる、と置いてみます。

最初の表が出るまで、平均2回。そこから、もう1回投げる。半分の確率で表が出て終了、もう半分は裏が出て振り出しへ。

振り出しに戻ったら、そこからまた平均$x$回。……いま求めたい答えが、また出てきました。

両辺から$\frac{x}{2}$を引くと、$\frac{x}{2}=3$。なので、$x=6$回！

まだ知らない答えを使って、その答えを求められる。「最初に戻るなら、そこからの平均も同じ」と思えば筋は通るけれど、ちょっと不思議な感じも。

ちなみに、さっきさらっと出てきた「表が出るまで平均2回」も、この方法で求められます。平均を$a$回とすると、まず1回投げて、半分の確率でやり直し。

何回続くかわからないコイントスが、こんな短い式に収まってしまいました。

あの1/4は、どこへ？

最初の「どちらも$\frac{1}{4}$」は、あれはあれで合っています。

ただし、それは2回だけ投げた結果の話。今回は、投げ続けながら隣り合う2回を見ています。

ここでは揃ったあとも投げ続けたとして、［表→表→表］という3回分の結果を見てみます。1・2回目で［表→表］。2・3回目でも［表→表］。2回目の表を、両方の組で使っています。

4回目も表なら、3・4回目でも［表→表］。2回ずつ別々に投げ直さなくても、新しい表が一つ出るたび、直前の表と組にできます。

一方、1・2回目が［表→裏］だったら、2・3回目は必ず［裏→何か］。次の1回だけで、もう一つ［表→裏］を作ることはできません。

ちなみに、2回ずつ区切って、揃わなければその2回を捨てるルールなら、どちらも平均8回。1組の成功確率は$\frac{1}{4}$なので平均4組、つまり8回。重なりをなくしたら、同じになった！

この重なりを、ちょっと大げさにして眺めてみましょう。

スタートを、一つずらしてみる。

では、少し極端に。「表が100回連続」と「表が99回続いて、最後に裏」を待ってみましょう。決めた100回で出る確率は、どちらも$\frac{1}{2}$を100回かけたもの。

ようやく表が99回続いたところ。どちらも、あと1回で完成する候補が一つあります。

「表100回」を待っていて、次に裏が出たら？ その裏で表の連続が切れるので、スタートをどこへずらしても、続きとして使える表が残りません。

「表99回の後に裏」を待っていて、次に表が出たら？ 最初の候補は外れ。でも、開始位置を一つずらすと、2回目から100回目までが99個の表。次に裏が出れば、今度はこの候補が完成！

使っているのは、同じコインの記録。表が増えるたびに、後ろの99個を次の候補として使えるわけです。新しく99回投げ直す必要はありません。

ちょっと長いので、図では100回を5回に縮めてみます。色の枠が、いま見ている候補。次の表が出ると、枠が一つ右へ動きます。

ピンとこなければ、極端に。

計算は合っているのに、気持ちが追いつかない。そんなときは、数を思いっきり大きくしてみる。逆に、ぎりぎりまで小さくしてみる。

今回は、待つ並びを100回に伸ばしてみたら、「ここまでの記録を、次の候補にも使える」が見えてきました。2回だと見過ごしていたことが、大きくした途端に目に入ってくる。

これだけで何でも証明できる、という話ではないけれど。「え、なんで？」の正体を探す手がかりにはなりそう。

次に数学の不思議な話に出会ったら、すぐに解説を読む前に、ちょっとだけ数字をめちゃくちゃにして遊んでみませんか🪙